微积分学示例

$\int e^{x} \sqrt{1 - e^{x}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - e^{x}$ 。然后使 $d u = - e^{x} d x$ ，以便 $- \frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = 1 - e^{x}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $1 - e^{x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 - e^{x}$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $e^{x}$ 。

$- e^{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 5

将 $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6

使用 $1 - e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{2}{3} {(1 - e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例