微积分学示例

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{6 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 2

由于 $6$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 3

使 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ，以便 $2 d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.3.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.4.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} + 0$

解题步骤 3.1.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} (1 \cdot 2) d u_{2}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot 2 d u_{2}$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1}$ 和 $2$ 。

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2} \cdot 2}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

解题步骤 4.4

将 $2$ 移到 ${u_{2}}^{2}$ 的左侧。

$6 \int \frac{2 {u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$6 (2 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

解题步骤 6

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

解题步骤 7

用 ${u_{2}}^{2}$ 除以 $2 u_{2} + 1$ 。

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解题步骤 7.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 u_{2}$

$1$

${u_{2}}^{2}$

$0 u_{2}$

$0$

解题步骤 7.2

将被除数中的最高阶项 ${u_{2}}^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 u_{2}$ 。

					$\frac{u_{2}}{2}$
	$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$

解题步骤 7.3

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			+	${u_{2}}^{2}$	+	$\frac{u_{2}}{2}$

解题步骤 7.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $u^{2} + \frac{u}{2}$ 中的所有符号

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$

解题步骤 7.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$

解题步骤 7.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

解题步骤 7.7

将被除数中的最高阶项 $- \frac{u_{2}}{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 u_{2}$ 。

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

解题步骤 7.8

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

解题步骤 7.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4}$ 中的所有符号

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

解题步骤 7.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

解题步骤 7.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$12 \int \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2}$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$12 (\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

解题步骤 10

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{2}}^{2}$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

解题步骤 12.2

组合 $u_{2}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

解题步骤 14

使 $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ 。然后使 $d u_{3} = 2 d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 14.1

设 $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 14.1.1

对 $2 u_{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

解题步骤 14.1.2

根据加法法则， $2 u_{2} + 1$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 14.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ 。

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解题步骤 14.1.3.1

因为 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $2 u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 14.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 14.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 14.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 14.1.4.1

因为 $1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 14.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 14.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

将 $\frac{1}{u_{3}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3})$

解题步骤 15.2

将 $2$ 移到 $u_{3}$ 的左侧。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 16

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 17.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 18

$\frac{1}{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\ln (| u_{3} |)$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u_{3} |) + C))$

解题步骤 19

化简。

$12 (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - \frac{u_{2}}{4} + \frac{\ln (| u_{3} |)}{8}) + C$

解题步骤 20

重新排序项。

$12 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} - \frac{1}{4} u_{2} + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

解题步骤 21

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 21.1

使用 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

解题步骤 21.2

使用 $2 u_{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

解题步骤 21.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

解题步骤 21.4

使用 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 21.5

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22

化简。

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解题步骤 22.1

在公分母上合并分子。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 1 - 1}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22.2

合并 $2 x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 22.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 0}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.3.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22.3.3

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 (x)}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22.3.4

约去公因数。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22.3.5

重写表达式。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22.4

将 $\frac{- 1}{2}$ 乘以 $\frac{x}{2}$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{2 \cdot 2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22.6

将负号移到分数的前面。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

解题步骤 22.7

在公分母上合并分子。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 1 - 1}{2} + 1 |)) + C$

解题步骤 22.8

合并 $2 x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 22.8.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 0}{2} + 1 |)) + C$

解题步骤 22.8.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

解题步骤 22.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.9.1

约去公因数。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

解题步骤 22.9.2

重写表达式。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

解题步骤 22.10

化简每一项。

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解题步骤 22.10.1

在公分母上合并分子。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1 - 1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

解题步骤 22.10.2

合并 $2 x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 22.10.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

解题步骤 22.10.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

解题步骤 22.10.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.10.3.1

约去公因数。

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

解题步骤 22.10.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$12 (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

解题步骤 22.10.4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{2}$ 。

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

解题步骤 22.10.5

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $\ln (| 2 x + 1 |)$ 。

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 22.11

要将 $\frac{x^{2}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 22.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 22.12.1

将 $\frac{x^{2}}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 22.12.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 22.13

在公分母上合并分子。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 22.14

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 22.15

运用分配律。

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 22.16

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 22.16.1

将 $- \frac{x}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 22.16.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 22.16.3

约去公因数。

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 22.16.4

重写表达式。

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 22.17

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 22.18

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 22.18.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 22.18.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 22.18.3

约去公因数。

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 22.18.4

重写表达式。

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 22.19

组合 $3$ 和 $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ 。

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 22.20

要将 $- 3 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 22.21

组合 $- 3 x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 22.22

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 22.23

化简分子。

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解题步骤 22.23.1

从 $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 22.23.1.1

从 $- 3 x \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 22.23.1.2

从 $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 22.23.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 22.24

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 22.25

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 22.26

从 $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 22.27

从 $\ln (| 2 x + 1 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

解题步骤 22.28

从 $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

解题步骤 22.29

将 $- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ 重写为 $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ 。

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

解题步骤 22.30

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 23

重新排序项。

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

微积分学 示例

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