微积分学示例

$\int \frac{x \sin (\sqrt{x^{2} + 4})}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x^{2} + 4$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x^{2} + 4$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{u_{1}}$ 的左侧。

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{2 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

解题步骤 4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

解题步骤 4.3

通过将 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

解题步骤 4.4

将 ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

解题步骤 4.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 4.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 5

使 $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ ，以便 $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 5.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 5.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 5.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 5.1.6

化简分子。

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解题步骤 5.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 5.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 5.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.8

化简。

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解题步骤 5.1.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.3

将 $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $- \cos (u_{2})$ 。

$- \cos (u_{2}) + C$

解题步骤 9

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 9.1

使用 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 9.2

使用 $x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \cos ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

微积分学 示例

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