微积分学示例

$\int \cos (\sqrt{x}) d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使 $u = \sqrt{x}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

$\int 2 u \cos (u) d u$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int u \cos (u) d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = \cos (u)$ 。

$2 (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

解题步骤 5

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$2 (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

解题步骤 6

将 $2 (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ 重写为 $2 (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ 。

$2 (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

解题步骤 7

使用 $\sqrt{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\sqrt{x} \sin (\sqrt{x}) + \cos (\sqrt{x})) + C$

微积分学 示例