微积分学示例

$\int_{0}^{1} (x + 2) {(3 x^{2} + 12 x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ 。然后使 $d u = (6 x + 12) d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = (x + 2) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x^{2} + 12 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 x^{2} + 12 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [12 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$6 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x + 12 + 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $6 x + 12$ 和 $0$ 相加。

$6 x + 12$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 1$

解题步骤 1.3.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

解题步骤 1.3.1.3

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 1.3.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + 1$

解题步骤 1.5.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 3 + 12 \cdot 1 + 1$

解题步骤 1.5.1.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 3 + 12 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $3$ 和 $12$ 相加。

$u_{upper} = 15 + 1$

解题步骤 1.5.3

将 $15$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 16$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\int_{1}^{16} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{6} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16}$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $16$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{6} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.4

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $64$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.3.2

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{128 - 2}{3}$

解题步骤 5.5.2

从 $128$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{126}{3}$

解题步骤 5.5.3

约去 $126$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1

从 $126$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3}$

解题步骤 5.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

解题步骤 5.5.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{42}{1}$

解题步骤 5.5.3.2.4

用 $42$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 42$

解题步骤 5.6

化简。

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解题步骤 5.6.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $42$ 。

$\frac{42}{6}$

解题步骤 5.6.2

约去 $42$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1

从 $42$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

解题步骤 5.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

解题步骤 5.6.2.2.2

约去公因数。

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

解题步骤 5.6.2.2.3

重写表达式。

$\frac{7}{1}$

解题步骤 5.6.2.2.4

用 $7$ 除以 $1$ 。

$7$

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