微积分学示例

$\int 5 x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - x^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 5 {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ 重写为 $- u + 1$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- u + 1}$ 重写成 ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int 5 {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.4.2

重写表达式。

$\int 5 {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.5

化简。

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.2

将负号移到分数的前面。

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\int - 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 5$ 。

$\int \frac{- 5}{2} (- u + 1) \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.5

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{- 5}{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot - 5}{2} (- u + 1) d u$

解题步骤 2.6

将 $- 5$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\int \frac{- 5 \cdot \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u + 1) d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u) + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

解题步骤 5.2

将 $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

解题步骤 5.3

将 $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 5.4

组合 $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $u$ 。

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 5.5

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \int - 1 \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 5.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 5.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 5.8

在公分母上合并分子。

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 5.9

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 5.10

将 $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 5.11

将 $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ 和 $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 重新排序。

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 6

将 $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ 重写为 $- \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

解题步骤 8

由于 $\frac{5}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{5}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$- (\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

解题步骤 10

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{5}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{5}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{5}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

解题步骤 13

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $u^{\frac{5}{2}}$ 。

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

解题步骤 14.2

化简。

$- (\frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{3} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 14.3

重新排序项。

$- (\frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 15

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (\frac{5}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 。

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 16.2

要将 $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

解题步骤 16.3

组合 $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

解题步骤 16.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 16.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$- \frac{1}{3} (5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

微积分学 示例

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