微积分学示例

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 3 x$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 3 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{u_{1}}$ 。

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

解题步骤 3

使 $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ ，以便 $3 d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\frac{u_{1}}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$

解题步骤 3.1.2

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{3}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int {u_{2}}^{2} e^{3 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = {u_{2}}^{2}$ ， $d v = e^{3 u_{2}}$ 。

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{3} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 5

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{u_{3}}$ 。

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 5.2

组合 ${u_{2}}^{2}$ 和 $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ 移到积分外。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 7

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{u_{3}}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}}}{3} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{3} \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 7.3

将 $2$ 移到 $e^{u_{3}}$ 的左侧。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 8

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

解题步骤 9.2

将 $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ 重写为 $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2}}{3} e^{u_{3}} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 9.3.2

组合 $\frac{{u_{2}}^{2}}{3}$ 和 $e^{u_{3}}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 9.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 9.3.4

组合 $e^{u_{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{e^{u_{3}}}{3} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 9.3.5

组合 ${u_{2}}^{2}$ 和 $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + C$

解题步骤 9.3.6

从 $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ 中减去 $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ 。

$0 + C$

解题步骤 9.3.7

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$C$

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