微积分学示例

$\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

用 $x^{2}$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$0$

解题步骤 2.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 2.3

将新的商式项乘以除数。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
						+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

解题步骤 2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0 + 1$ 中的所有符号

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
						-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

解题步骤 2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
						-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
										-	$1$

解题步骤 2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 6.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

$x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 7

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C$ 。

$x + C - (\arctan (x) + C)$

解题步骤 8

化简。

$x - \arctan (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$