微积分学示例

$\int \frac{\sin (x)}{{(4 - \cos (x))}^{3}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 - \cos (x)$ 。然后使 $d u = \sin (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 - \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 - \cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 - \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $4 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 - - \sin (x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 \sin (x)$

解题步骤 1.1.3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$0 + \sin (x)$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\sin (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{3}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $u^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{3})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

将 ${(u^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{3 \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 3} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- 3}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

解题步骤 5

使用 $4 - \cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2 {(4 - \cos (x))}^{2}} + C$

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