微积分学示例

$\int \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3 (u - 1) + 2}{u} d u$

解题步骤 2

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} + \frac{- 3 (u - 1)}{u} + \frac{2}{u} d u$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u + \int \frac{- 3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 4

通过相乘进行化简。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 4.2

将 ${(u - 1)}^{2}$ 重写为 $(u - 1) (u - 1)$ 。

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 4.6

将 $u$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 5

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 6

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 8.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 9

从 $- 1 u$ 中减去 $1 u$ 。

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 10

用 $u^{2} - 2 u + 1$ 除以 $u$ 。

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解题步骤 10.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

解题步骤 10.2

将被除数中的最高阶项 $u^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

解题步骤 10.3

将新的商式项乘以除数。

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

解题步骤 10.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $u^{2} + 0$ 中的所有符号

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

解题步骤 10.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

解题步骤 10.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

解题步骤 10.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 u$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

解题步骤 10.8

将新的商式项乘以除数。

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

解题步骤 10.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 u + 0$ 中的所有符号

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

解题步骤 10.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

解题步骤 10.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 11

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 12

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 14

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 15

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - \int \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 16

由于 $3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - (3 \int \frac{u - 1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 17

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 \int \frac{u - 1}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 18

用 $u - 1$ 除以 $u$ 。

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解题步骤 18.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$u$

$0$

$u$

$1$

解题步骤 18.2

将被除数中的最高阶项 $u$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

解题步骤 18.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

解题步骤 18.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $u + 0$ 中的所有符号

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

解题步骤 18.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

解题步骤 18.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 \int 1 - \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 19

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 20

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C + \int - \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 21

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 22

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{2}{u} d u$

解题步骤 23

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 24

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + 2 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 25

化简。

$\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \ln (| u |) - 3 u + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

解题步骤 26

重新排序项。

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) - 3 u + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

解题步骤 27

化简。

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解题步骤 27.1

从 $- 2 u$ 中减去 $3 u$ 。

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + \ln (| u |) + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

解题步骤 27.2

将 $\ln (| u |)$ 和 $3 \ln (| u |)$ 相加。

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + 4 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

解题步骤 27.3

将 $4 \ln (| u |)$ 和 $2 \ln (| u |)$ 相加。

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + 6 \ln (| u |) + C$

解题步骤 28

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 5 (x + 1) + 6 \ln (| x + 1 |) + C$

微积分学 示例

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