微积分学示例

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} + 3} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + 3$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int {\sqrt{u - 3}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

将 ${\sqrt{u - 3}}^{2}$ 重写为 $u - 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u - 3}$ 重写成 ${(u - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {({(u - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(u - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int {(u - 3)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.4.1

约去公因数。

$\int {(u - 3)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.1.4.2

重写表达式。

$\int {(u - 3)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.1.5

化简。

$\int (u - 3) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{u}$ 。

$\int (u - 3) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

解题步骤 2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int (u - 3) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 3.2

组合 $u$ 和 $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 3.3

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 3.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 3.7

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 3.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 4

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

解题步骤 9

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

化简。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.2

将 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 重写为 $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3.4

约去 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 1 \cdot 1 u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 12

使用 $x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{5} {(x^{2} + 3)}^{\frac{5}{2}} - {(x^{2} + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例