微积分学示例

$\int x^{2} \sqrt{3 x + 2} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 3 x + 2$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 3 x + 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ 。

$\int \frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3}$ 和 $\sqrt{u_{1}}$ 。

$\int \frac{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}}}{3} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 5

使 $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ ，以便 $3 d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{3}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $- \frac{2}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- \frac{2}{3}$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{2}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (1 \cdot 3) d u_{2}$

解题步骤 6.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 d u_{2}$

解题步骤 6.3

将 $3$ 移到 ${u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{1}{3} \int 3 {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (3 \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 8.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3} \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 8.2.2

重写表达式。

$1 \int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 8.3

将 $\int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int {u_{2}}^{2} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 9

使 $u_{3} = 3 u_{2} + 2$ 。然后使 $d u_{3} = 3 d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u_{3} = 3 u_{2} + 2$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $3 u_{2} + 2$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2} + 2]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $3 u_{2} + 2$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$ 。

$\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

解题步骤 9.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{2}} [3 u_{2}]$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

因为 $3$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $3 u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $3 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

解题步骤 9.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

解题步骤 9.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

解题步骤 9.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 9.1.4.1

因为 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $2$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 9.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 9.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\int {(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} d u_{3}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ 。

$\int \frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}}{3}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{{(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3} d u_{3}$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 ${(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})}^{2}$ 重写为 $(\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})$ 。

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.3

运用分配律。

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} + \frac{u_{3}}{3} (- \frac{2}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.4

运用分配律。

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} + \frac{u_{3}}{3} (- \frac{2}{3}) - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.5

运用分配律。

$\frac{1}{3} \int (\frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} + \frac{u_{3}}{3} (- \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.6

运用分配律。

$\frac{1}{3} \int \frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{u_{3}}{3} (- \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3})) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.7

运用分配律。

$\frac{1}{3} \int \frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{u_{3}}{3} (- \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.8

将 $\frac{u_{3}}{3}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{1}{3} \int \frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} (- \frac{2}{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.9

移动 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{u_{3}}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.10

将 $\frac{u_{3}}{3}$ 乘以 $\frac{u_{3}}{3}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{u_{3} \cdot u_{3}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.11

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{1} u_{3}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.12

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{2}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.15

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{2}}{9} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.16

组合 $\frac{{u_{3}}^{2}}{9}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.18

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.19

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.20

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.21

化简分子。

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解题步骤 12.21.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.21.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} - 1 \frac{u_{3}}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.22

组合 $- 1 \frac{u_{3}}{3}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3}}{3} \cdot 2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.23

组合 $\frac{u_{3}}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2}{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.24

组合 $\frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2}{3}}{3}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.25

组合 $\frac{u_{3} \cdot 2}{3}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{3}}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.26

组合 $- \frac{2}{3}$ 和 $\frac{u_{3}}{3}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 u_{3}}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.27

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 u_{3}}{9} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.28

组合 $\frac{2 u_{3}}{9}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.29

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}})}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.30

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}}}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.31

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.32

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}}}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.33

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} - 1 \cdot - 1 \frac{2}{3} \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.34

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + 1 (\frac{2}{3}) \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.35

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.36

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.37

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{4}{3 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.38

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{4}{9} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 12.39

组合 $\frac{4}{9}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 12.40

将 $\frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9}$ 和 $\frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3}$ 重新排序。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 12.41

将 $- \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9}$ 和 $\frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9}$ 重新排序。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $2$ 移到 $u_{3}$ 的左侧。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.2

通过指数相加将 $u_{3}$ 乘以 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 13.2.1

移动 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} u_{3})}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.2.2

将 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $u_{3}$ 。

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解题步骤 13.2.2.1

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{1})}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{1}{2} + 1}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.3

将 $- 1 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 重写为 $- \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{- \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.4

将 $\frac{- \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}}{3}$ 重写为乘积形式。

$\frac{1}{3} \int - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{1}{3} \int - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 3} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \int - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.7

从 $- \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9}$ 中减去 $\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - 2 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.8

组合 $- 2$ 和 $\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} + \frac{- 2 (2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}})}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.9

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} + \frac{- 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 13.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3}$

解题步骤 14

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} (\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{9} d u_{3} + \int \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3} + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

解题步骤 15

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3} + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

解题步骤 16

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3} + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

解题步骤 17

组合 $\frac{2}{7}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{9} d u_{3} + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

解题步骤 18

由于 $\frac{4}{9}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{4}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

解题步骤 19

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

解题步骤 20

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

解题步骤 21

由于 $- 1$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \int \frac{4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{9} d u_{3})$

解题步骤 22

由于 $\frac{4}{9}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{4}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{4}{9} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}))$

解题步骤 23

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{4}{9} (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C))$

解题步骤 24

化简。

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解题步骤 24.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{4}{9} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

解题步骤 24.2

化简。

$\frac{1}{3} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{63} + \frac{8 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{45}) + C$

解题步骤 25

重新排序项。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{63} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{27} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{45} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 26

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 26.1

使用 $3 u_{2} + 2$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{63} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{27} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{45} {(3 u_{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 26.2

使用 $\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{63} {(3 (\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{27} {(3 (\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{45} {(3 (\frac{u_{1}}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 26.3

使用 $3 x + 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{63} {(3 (\frac{3 x + 2}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{27} {(3 (\frac{3 x + 2}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{45} {(3 (\frac{3 x + 2}{3} - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 27

重新排序项。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{63} {(3 (\frac{1}{3} (3 x + 2) - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{27} {(3 (\frac{1}{3} (3 x + 2) - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{45} {(3 (\frac{1}{3} (3 x + 2) - \frac{2}{3}) + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$

微积分学 示例

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