微积分学示例

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{u - 1}{u} d u$

解题步骤 2

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

约去 $u$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

约去公因数。

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 4.1.2

重写表达式。

$\int d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 4.2

将负号移到分数的前面。

$\int d u + \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$u + C + \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$u + C - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 7

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$u + C - (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 8

化简。

$u - \ln (| u |) + C$

解题步骤 9

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x + 1 - \ln (| x + 1 |) + C$

微积分学 示例

微积分学示例