微积分学示例

$\int x^{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int {(\frac{u_{1}}{2})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{u_{1}}$ 。

$\int {(\frac{u_{1}}{2})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

使 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ，以便 $2 d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\frac{u_{1}}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

解题步骤 3.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int {u_{2}}^{2} e^{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = {u_{2}}^{2}$ ， $d v = e^{2 u_{2}}$ 。

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{2} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{u_{3}}$ 。

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 5.2

组合 ${u_{2}}^{2}$ 和 $\frac{e^{u_{3}}}{2}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2$ 移到积分外。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{u_{3}}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{e^{u_{3}}}{2} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{e^{u_{3}}}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{2} \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 7.3

将 $2$ 移到 $e^{u_{3}}$ 的左侧。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{2 \cdot e^{u_{3}}}{2} \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

约去公因数。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{2 e^{u_{3}}}{2} \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 7.4.2

用 $e^{u_{3}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (e^{u_{3}} \int u_{2} d u_{2})$

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 8

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

解题步骤 9.2

将 $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ 重写为 $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$

解题步骤 10

去掉圆括号。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{u_{3}} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ 和 $e^{u_{3}}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

解题步骤 11.3

组合 ${u_{2}}^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{u_{3}} + C$

解题步骤 11.4

组合 $e^{u_{3}}$ 和 $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ 。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{2} + C$

解题步骤 11.5

从 $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ 中减去 $\frac{e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 11.5.1

将 $e^{u_{3}}$ 和 ${u_{2}}^{2}$ 重新排序。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$

解题步骤 11.5.2

从 $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ 中减去 $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ 。

$0 + C$

解题步骤 11.6

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$C$

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