微积分学示例

$π \int_{0}^{2} {(3 x^{2} + 2)}^{2} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

展开 ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ 重写为 $(3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2)$ 。

$π \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2) d x$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2} + 2) + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

解题步骤 2.5

移动 $x^{2}$ 。

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

解题步骤 2.6

移动 $x^{2}$ 。

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

解题步骤 2.7

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

解题步骤 2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

解题步骤 2.9

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

解题步骤 2.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

解题步骤 2.11

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

解题步骤 2.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 4 d x$

解题步骤 2.13

将 $6 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 12 x^{2} + 4 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$π (\int_{0}^{2} 9 x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

解题步骤 4

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$π (9 \int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$π (9 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

解题步骤 7

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$π (9 ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

解题步骤 11.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 x]_{0}^{2})$

解题步骤 11.3

计算 $4 x$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4

化简。

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解题步骤 11.4.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.3

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 11.4.3.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.3.2.2

约去公因数。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.3.2.3

重写表达式。

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$π (9 (\frac{32}{5} - 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π (9 (\frac{32}{5} + 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.5

将 $\frac{32}{5}$ 和 $0$ 相加。

$π (9 (\frac{32}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.6

组合 $9$ 和 $\frac{32}{5}$ 。

$π (\frac{9 \cdot 32}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.7

将 $9$ 乘以 $32$ 。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.10

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 11.4.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.10.2.2

约去公因数。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.10.2.3

重写表达式。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} + 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.12

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.13

组合 $12$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$π (\frac{288}{5} + \frac{12 \cdot 8}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.14

将 $12$ 乘以 $8$ 。

$π (\frac{288}{5} + \frac{96}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.15

约去 $96$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.15.1

从 $96$ 中分解出因数 $3$ 。

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.15.2

约去公因数。

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解题步骤 11.4.15.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.15.2.2

约去公因数。

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.15.2.3

重写表达式。

$π (\frac{288}{5} + \frac{32}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.15.2.4

用 $32$ 除以 $1$ 。

$π (\frac{288}{5} + 32 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.16

要将 $32$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{288}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.17

组合 $32$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{288}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.18

在公分母上合并分子。

$π (\frac{288 + 32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.19

化简分子。

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解题步骤 11.4.19.1

将 $32$ 乘以 $5$ 。

$π (\frac{288 + 160}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.19.2

将 $288$ 和 $160$ 相加。

$π (\frac{448}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.20

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$π (\frac{448}{5} + 8 - 4 \cdot 0)$

解题步骤 11.4.21

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{448}{5} + 8 + 0)$

解题步骤 11.4.22

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{448}{5} + 8)$

解题步骤 11.4.23

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{448}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 11.4.24

组合 $8$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{448}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5})$

解题步骤 11.4.25

在公分母上合并分子。

$π \frac{448 + 8 \cdot 5}{5}$

解题步骤 11.4.26

化简分子。

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解题步骤 11.4.26.1

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$π \frac{448 + 40}{5}$

解题步骤 11.4.26.2

将 $448$ 和 $40$ 相加。

$π \frac{488}{5}$

解题步骤 11.4.27

组合 $π$ 和 $\frac{488}{5}$ 。

$\frac{π \cdot 488}{5}$

解题步骤 11.4.28

将 $488$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{488 π}{5}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{488 π}{5}$

小数形式：

$306.61944299 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例