微积分学示例

$\int \sqrt{1 + x^{2}} x^{5} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u} {\sqrt{u - 1}}^{4} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{u - 1}}^{4}$ 重写为 ${(u - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u - 1}$ 重写成 ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \sqrt{u} {({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{4}{2}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2}{1}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{2} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{u}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} {(u - 1)}^{2} d u$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{\sqrt{u}}{2}$ 和 ${(u - 1)}^{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u} {(u - 1)}^{2}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} {(u - 1)}^{2} d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = {(u - 1)}^{2}$ ， $dv = \sqrt{u}$ 。

$\frac{1}{2} ({(u - 1)}^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} ({(u - 1)}^{2} \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

解题步骤 5.2

组合 ${(u - 1)}^{2}$ 和 $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{{(u - 1)}^{2} (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

解题步骤 5.3

将 $2$ 移到 ${(u - 1)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

解题步骤 5.4

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} (2 u - 2) d u)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} (2 u) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d u)$

解题步骤 6.2

将 $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} u + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d u)$

解题步骤 6.3

将 $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} u - 2 \cdot \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

解题步骤 6.4

组合 $2$ 和 $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} u - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

解题步骤 6.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} u - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

解题步骤 6.6

组合 $\frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $u$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2}} u}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

解题步骤 6.7

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (u^{\frac{3}{2}} u^{1})}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

解题步骤 6.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2} + 1}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

解题步骤 6.9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

解题步骤 6.10

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

解题步骤 6.11

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

解题步骤 6.12

组合 $- 2$ 和 $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 2 (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} d u)$

解题步骤 6.13

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} d u + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

解题步骤 9

由于 $\frac{4}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{4}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{\frac{5}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

解题步骤 11

组合 $\frac{2}{7}$ 和 $u^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

解题步骤 13

由于 $\frac{4}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{4}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - (\frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)))$

解题步骤 14

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{4}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)))$

解题步骤 15.2

化简。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{21} u^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{15} u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 17

将 $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{21} u^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{15} u^{\frac{5}{2}}) + C$ 重写为 $\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

要将 $\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 18.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $21$ 的形式。

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解题步骤 18.2.1

将 $\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}} \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 18.2.2

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}} \cdot 7}{21} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 18.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}} \cdot 7 - 8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 18.4

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{14 u^{\frac{7}{2}} - 8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 18.5

从 $14 u^{\frac{7}{2}}$ 中减去 $8 u^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{6 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 18.6

从 $6 u^{\frac{7}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 u^{\frac{7}{2}})}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 18.7

约去公因数。

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解题步骤 18.7.1

从 $21$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 u^{\frac{7}{2}})}{3 (7)} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 18.7.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 u^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 18.7.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

解题步骤 18.8

要将 $- \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 18.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 18.9.1

将 $\frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 18.9.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 18.10

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 18.11

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 20 u^{\frac{5}{2}} + 8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 18.12

将 $- 20 u^{\frac{5}{2}}$ 和 $8 u^{\frac{5}{2}}$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 18.13

从 $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 18.14

约去公因数。

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解题步骤 18.14.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 18.14.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 18.14.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 18.15

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 19

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 {(1 + x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

解题步骤 20

重新排序项。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{7} {(1 + x^{2})}^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} {(1 + x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

微积分学 示例

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