微积分学示例

$\int_{0}^{2} \frac{1}{1 + (\frac{x^{2}}{4})} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简分母。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} d x$

解题步骤 2.1.2

在公分母上合并分子。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{4}} d x$

解题步骤 2.2

将分子乘以分母的倒数。

$\int_{0}^{2} 1 \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

将 $\frac{4}{4 + x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{2} \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 \int_{0}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (\frac{x}{2})$ 。

$4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$4 ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$4 (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

解题步骤 6.2.2.1.2

重写表达式。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2})$

解题步骤 6.2.2.2

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 (0)}{2})}{2})$

解题步骤 6.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

解题步骤 6.2.2.2.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2})$

解题步骤 6.2.2.2.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{2})$

解题步骤 6.2.2.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$4 (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (0)}{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

在公分母上合并分子。

$4 \frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{2}$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$4 \frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{2}$

解题步骤 7.2.2

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$4 \frac{\frac{π}{4} - 0}{2}$

解题步骤 7.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{\frac{π}{4} + 0}{2}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 7.4.2

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 7.4.3

重写表达式。

$2 \frac{π}{4}$

解题步骤 7.5

组合 $2$ 和 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 7.6

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 7.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.6.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{2}$

小数形式：

$1.57079632 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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