微积分学示例

$\int \frac{1}{θ^{2}} \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{θ^{2}}$ 和 $\cos (\frac{1}{θ})$ 。

$\int \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

解题步骤 2

使 $u = \frac{1}{θ}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{θ^{2}} d θ$ ，以便 $- d u = \frac{1}{θ^{2}} d θ$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \frac{1}{θ}$ 。求 $\frac{d u}{d θ}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\frac{1}{θ}$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{1}{θ}$ 重写为 $θ^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- θ^{- 2}$

解题步骤 2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{θ^{2}}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - \cos (u) d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \cos (u) d u$

解题步骤 4

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$- (\sin (u) + C)$

解题步骤 5

化简。

$- \sin (u) + C$

解题步骤 6

使用 $\frac{1}{θ}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (\frac{1}{θ}) + C$

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