微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

解题步骤 1

使 $u = 4 + r^{2}$ 。然后使 $d u = 2 r d r$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = r d r$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 + r^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d r}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 + r^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $4 + r^{2}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ 。

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $4$ 对于 $r$ 是常数，所以 $4$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 r$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $2 r$ 相加。

$2 r$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 4 + r^{2}$ 中的 $r$ 。

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 4 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 4 + r^{2}$ 中的 $r$ 。

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 4 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{4}^{5} \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ 重写为 $u - 4$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u - 4}$ 重写成 ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{4}^{5} \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.4.2

重写表达式。

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.1.5

化简。

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{u - 4}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3

将 $2$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

展开 $(u - 4) u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1 - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 8

由于 $- 4$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 \int_{4}^{5} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $5$ 处和在 $4$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

解题步骤 10.2

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $5$ 处和在 $4$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $5^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.4

化简表达式。

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解题步骤 10.4.1

化简。

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解题步骤 10.4.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.4.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.4.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.4.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8 - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.4.2

化简。

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解题步骤 10.4.2.1

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3}) - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.4.2.2

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.4.2.3

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.4.2.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.4.3

化简。

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解题步骤 10.4.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.4.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

解题步骤 10.4.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

解题步骤 10.4.3.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{1}))$

解题步骤 10.4.3.4

计算指数。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2))$

解题步骤 10.4.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4))$

解题步骤 10.4.5

化简。

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解题步骤 10.4.5.1

要将 $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

解题步骤 10.4.5.2

组合 $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

解题步骤 10.4.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

解题步骤 10.4.5.4

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

小数形式：

$0.11584138 \dots$

微积分学 示例

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