微积分学示例

$\int \frac{x^{2} - 3}{{(x + 1)}^{3}} d x$

解题步骤 1

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3}{u^{3}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $u^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) {(u^{3})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

将 ${(u^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{3 \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3} d u$

解题步骤 3

展开 $({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.1

将 ${(u - 1)}^{2}$ 重写为 $(u - 1) (u - 1)$ 。

$\int ((u - 1) (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 - 3) u^{- 3} d u$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.7

运用分配律。

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.8

运用分配律。

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.9

将 $u$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.10

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.11

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + 1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{2} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{2 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.15

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\int u^{- 1} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.16

提取负因数。

$\int u^{- 1} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.17

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{- 1} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{- 1} - u^{1 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.19

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.20

提取负因数。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.21

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{1 - 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.23

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.24

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.25

将 $u^{- 3}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.26

从 $- u^{- 2}$ 中减去 $u^{- 2}$ 。

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

解题步骤 3.27

从 $u^{- 3}$ 中减去 $3 u^{- 3}$ 。

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} - 2 u^{- 3} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{- 1} d u + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

解题步骤 5

$u^{- 1}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\ln (| u |) + C - 2 \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 3} d u$

解题步骤 8

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 3} d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{- 3}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 。

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $u^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 10.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- 2}$ 移动到分母。

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

解题步骤 10.3

将 $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$ 重写为 $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$ 。

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$

解题步骤 10.4

化简。

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解题步骤 10.4.1

将负号移到分数的前面。

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - - \frac{1}{u^{2}} + C$

解题步骤 10.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + 1 \frac{1}{u^{2}} + C$

解题步骤 10.4.3

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}} + C$

解题步骤 11

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| x + 1 |) + \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + C$

微积分学 示例

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