微积分学示例

$\int (x^{2} - 1) \sqrt{2 x + 1} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

合并分数。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{u_{1}}$ 。

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

使 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ，以便 $2 d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.3.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.4.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} + 0$

解题步骤 3.1.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int ({u_{2}}^{2} - 1) {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

使 $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ 。然后使 $d u_{3} = 2 d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 u_{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $2 u_{2} + 1$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $2 u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 4.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\int ({(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} d u_{3}$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int ({(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ 重写为 $(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})$ 。

$\int ((\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\int (\frac{u_{3}}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\int (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\int (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.5

运用分配律。

$\int (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.6

运用分配律。

$\int (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2})) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} + (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.7

运用分配律。

$\int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} + (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.8

运用分配律。

$\int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.9

将 $\frac{u_{3}}{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.10

移动 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.11

将 $\frac{u_{3}}{2}$ 乘以 $\frac{u_{3}}{2}$ 。

$\int \frac{u_{3} \cdot u_{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.12

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{{u_{3}}^{1} u_{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.13

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{{u_{3}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{{u_{3}}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.16

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{2}}{4} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.17

将 $\frac{{u_{3}}^{2}}{4}$ 乘以 $\frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{{u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.19

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.20

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.21

在公分母上合并分子。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.22

化简分子。

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解题步骤 6.22.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.22.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.23

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.24

组合 $- 1 \frac{u_{3}}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{u_{3}}{2}}{2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.25

将 $\frac{- 1 \frac{u_{3}}{2}}{2}$ 乘以 $\frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.26

组合 $\frac{u_{3}}{2}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.27

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.28

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.29

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.30

在公分母上合并分子。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.31

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.32

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.33

组合 $- \frac{1}{2}$ 和 $\frac{u_{3}}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{u_{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.34

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{u_{3}}{4} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.35

组合 $- \frac{u_{3}}{4}$ 和 $\frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.36

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.37

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.38

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.39

在公分母上合并分子。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.40

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.41

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.42

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.43

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.44

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.45

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.46

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.47

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 6.48

将 $- \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8}$ 和 $\frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8}$ 重新排序。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 重写为 $- \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{- \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4}$ 重写为乘积形式。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.5

从 $- \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8}$ 中减去 $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - 2 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.7

从 $- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{3}{2}})}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.8

约去公因数。

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解题步骤 7.8.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{3}{2}})}{2 (4)} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.8.2

约去公因数。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 4} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.8.3

重写表达式。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.9

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 7.10

将 $- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 重写为 $- \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 10

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 12

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 13

由于 $- 1$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 15

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 16

由于 $- 1$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 17

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3})$

解题步骤 18

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 19

化简。

$\frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{28} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}) + C$

解题步骤 20

重新排序项。

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 21

化简。

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解题步骤 21.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 21.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{6} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 21.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 21.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{6} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 21.3.2

约去公因数。

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解题步骤 21.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 21.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 21.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 22

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 22.1

使用 $2 u_{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{28} {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 22.2

使用 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{28} {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 22.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{28} {(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 23

重新排序项。

$\frac{1}{28} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例