微积分学示例

$\int 2 \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \sin (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{2 \cos (2 x)} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \sin (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \cos (2 x)$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 2

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 3

使用 $\sin (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \sin^{2} (2 x) + C$

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