微积分学示例

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

将积分表示为 $t$ 趋于 $- \infty$ 时的极限。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

解题步骤 3

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\arctan (\frac{x}{4})$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ 在 $0$ 处和在 $t$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

解题步骤 5.2.2

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

解题步骤 5.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

解题步骤 5.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

解题步骤 5.2.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

使用公分母合并分数。

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解题步骤 6.1.1

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

解题步骤 6.1.2

化简分子。

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解题步骤 6.1.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

解题步骤 6.1.2.2

从 $0$ 中减去 $\arctan (\frac{t}{4})$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

解题步骤 6.1.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

解题步骤 6.2

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

解题步骤 6.3

因为项 $\frac{1}{4}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

解题步骤 6.4

首项系数为正数的奇次多项式在无穷远处的极限为负无穷。

$- \frac{1}{4} - \infty$

解题步骤 6.5

由于 $lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ ，因此将 $\frac{t}{4}$ 代入 $t$ ，并使 $t$ 趋于 $- \infty$ 。

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

解题步骤 6.6

当 $t$ 趋于 $- \infty$ 时，极限为 $- \frac{π}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

解题步骤 6.7

化简答案。

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解题步骤 6.7.1

乘以 $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.7.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

解题步骤 6.7.1.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 6.7.2

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 6.7.2.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 6.7.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{8}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{8}$

小数形式：

$0.39269908 \dots$

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