微积分学示例

$\int \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- d u = \sin (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

解题步骤 5

$\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arctan (u) + C$ 。

$- (\arctan (u) + C)$

解题步骤 6

化简。

$- \arctan (u) + C$

解题步骤 7

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \arctan (\cos (x)) + C$

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