微积分学示例

$\int_{\ln (2)}^{\ln (8)} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + e^{x}$ 。然后使 $d u = e^{x} d x$ ，以便 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + e^{x}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + e^{x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 + e^{x}$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $e^{x}$ 相加。

$e^{x}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + e^{x}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + e^{\ln (2)}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$u_{lower} = 1 + 2$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u_{lower} = 3$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + e^{x}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + e^{\ln (8)}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$u_{upper} = 1 + 8$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

解题步骤 3

计算 $\ln (| u |)$ 在 $9$ 处和在 $3$ 处的值。

$(\ln (| 9 |)) - \ln (| 3 |)$

解题步骤 4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $9$ 之间的距离为 $9$ 。

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

解题步骤 5.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$\ln (\frac{9}{3})$

解题步骤 5.3

用 $9$ 除以 $3$ 。

$\ln (3)$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (3)$

小数形式：

$1.09861228 \dots$

微积分学 示例

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