微积分学示例

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

展开 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\int x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 2.5

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int x^{2} x^{2} + 1 \cdot x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2 + 2} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 2.7

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{4} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 2.8

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 2.9

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 2.10

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 d x$

解题步骤 2.11

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\int x^{4} + 2 x^{2} + 1 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$

微积分学 示例

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