微积分学示例

$\int_{0}^{5} \sqrt{y + 4} d y$

解题步骤 1

使 $u = y + 4$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = y + 4$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $y + 4$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $y + 4$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

解题步骤 1.1.4

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = y + 4$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = 0 + 4$

解题步骤 1.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = y + 4$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 5 + 4$

解题步骤 1.5

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{4}^{9} \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $4$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $27$ 。

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.3.3

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.3.3.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.3.1

约去公因数。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.4.3.2

重写表达式。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

解题步骤 4.4.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$18 - \frac{2}{3} \cdot 8$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$18 - 8 (\frac{2}{3})$

解题步骤 4.5.2

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

解题步骤 4.5.3

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$18 + \frac{- 16}{3}$

解题步骤 4.5.4

将负号移到分数的前面。

$18 - \frac{16}{3}$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

解题步骤 4.6.2

组合 $18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

解题步骤 4.6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

解题步骤 4.6.4

化简分子。

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解题步骤 4.6.4.1

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{54 - 16}{3}$

解题步骤 4.6.4.2

从 $54$ 中减去 $16$ 。

$\frac{38}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{38}{3}$

小数形式：

$12.\overline{6}$

带分数形式：

$12 \frac{2}{3}$

微积分学 示例

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