微积分学示例

$\int x e^{3 x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{u}{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{u}{3}$ 和 $e^{u}$ 。

$\int \frac{u e^{u}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{u e^{u}}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{u e^{u}}{3 \cdot 3} d u$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{u e^{u}}{9} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} \int u e^{u} d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = e^{u}$ 。

$\frac{1}{9} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

解题步骤 5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{9} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

解题步骤 6

化简。

$\frac{1}{9} (u e^{u} - e^{u}) + C$

解题步骤 7

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x} - e^{3 x}) + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

解题步骤 8.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3 (3)} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

解题步骤 8.2.2

从 $3 x e^{3 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3 (3)} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

解题步骤 8.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{3 \cdot 3} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

解题步骤 8.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{3} (x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

解题步骤 8.3

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x}{3} e^{3 x} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{x}{3}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$\frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

解题步骤 8.5

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9} + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

微积分学 示例

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