微积分学示例

$\int 2 x \sqrt{x - 5} d x$

解题步骤 1

使 $u = x - 5$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x - 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 2 (u + 5) \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int (u + 5) \sqrt{u} d u$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \int (u + 5) u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

展开 $(u + 5) u^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 \int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \int u^{1 + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$2 \int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \int u^{\frac{3}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.7

将 $u^{\frac{3}{2}}$ 和 $5 u^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$2 \int 5 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$2 (\int 5 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 6

由于 $5$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$2 (5 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 9.1.2

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $u^{\frac{5}{2}}$ 。

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

解题步骤 9.2

化简。

$2 (\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$2 (\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 10

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\frac{10}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

组合 $\frac{10}{3}$ 和 ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 11.1.2

组合 $\frac{2}{5}$ 和 ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ 。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 11.2

要将 $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 11.3

要将 $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

解题步骤 11.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 11.4.1

将 $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

解题步骤 11.4.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

解题步骤 11.4.3

将 $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

解题步骤 11.4.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

解题步骤 11.5

在公分母上合并分子。

$2 \frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

解题步骤 11.6

化简分子。

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解题步骤 11.6.1

从 $10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3$ 中分解出因数 $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 11.6.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 11.6.1.1.1

移动 ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

解题步骤 11.6.1.1.2

移动 ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ 。

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 11.6.1.2

从 $10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 11.6.1.3

从 $2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

解题步骤 11.6.1.4

从 $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})$ 中分解出因数 $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

解题步骤 11.6.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

解题步骤 11.6.3

化简每一项。

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解题步骤 11.6.3.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{1})}{15} + C$

解题步骤 11.6.3.2

化简。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 (x - 5))}{15} + C$

解题步骤 11.6.3.3

运用分配律。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x + 3 \cdot - 5)}{15} + C$

解题步骤 11.6.3.4

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x - 15)}{15} + C$

解题步骤 11.6.4

从 $25$ 中减去 $15$ 。

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$

解题步骤 11.7

乘以 $2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ 。

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解题步骤 11.7.1

组合 $2$ 和 $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ 。

$\frac{2 (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

解题步骤 11.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 ({(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

$\frac{4 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$

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