微积分学示例

$\int_{1}^{3} (x + 1) e^{x^{2} + 2 x} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + 2 x$ 。然后使 $d u = (2 x + 2) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2} + 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1^{2} + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 1 + 2$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u_{lower} = 3$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2} + 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3^{2} + 2 \cdot 3$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 3$

解题步骤 1.5.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u_{upper} = 9 + 6$

解题步骤 1.5.2

将 $9$ 和 $6$ 相加。

$u_{upper} = 15$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 15$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{3}^{15} e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{3}^{15} \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{3}^{15} e^{u} d u$

解题步骤 4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} e^{u}]_{3}^{15}$

解题步骤 5

计算 $e^{u}$ 在 $15$ 处和在 $3$ 处的值。

$\frac{1}{2} (e^{15} - e^{3})$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2} \cdot (e^{15} - e^{3})$

小数形式：

$1634498.64346759$

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