微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

解题步骤 1

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

计算 $\frac{1}{4} u^{4}$ 在 $\frac{1}{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{4}$ 重写为 $4^{- 1}$ 。

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.5

将 $\frac{1}{2}$ 重写为 $2^{- 1}$ 。

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.6

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.9

将 ${(2^{- 1})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.9.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.11

从 $- 2$ 中减去 $4$ 。

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.2.13

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

一的任意次幂都为一。

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

要将 $- \frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

解题步骤 4.4.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $64$ 的形式。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

解题步骤 4.4.2.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

解题步骤 4.4.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{1 - 16}{64}$

解题步骤 4.4.4

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$- \frac{- 15}{64}$

解题步骤 4.4.5

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{15}{64}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{15}{64})$

解题步骤 4.5.2

将 $\frac{15}{64}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{15}{64}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{15}{64}$

小数形式：

$0.234375$

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