微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 1

使 $u = \cos (t)$ 。然后使 $d u = - \sin (t) d t$ ，以便 $- d u = \sin (t) d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \cos (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$- \sin (t)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \cos (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \cos (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{- 2} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- (- u^{- 1}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 6

计算 $- u^{- 1}$ 在 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$- ((- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 7

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1^{- 1})$

解题步骤 8

一的任意次幂都为一。

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

小数形式：

$0.41421356 \dots$

微积分学 示例

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