微积分学示例

$\int_{0}^{1} x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $e^{- x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

重新排序 $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 的因式。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 1.1.4.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = e^{- 0}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = e^{0}$

解题步骤 1.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = e^{- 1^{2}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = e^{- 1}$

解题步骤 1.5.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

计算 $- \frac{1}{2} u_{2}$ 在 $\frac{1}{e}$ 处和在 $1$ 处的值。

$(- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 移到 $e$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

小数形式：

$0.31606027 \dots$

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