微积分学示例

$\int_{0}^{2} \frac{3 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 3

乘以 $(3 x^{2} - 1) x^{- 2}$ 。

$\int_{0}^{2} 3 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$\int_{0}^{2} 3 (x^{- 2} x^{2}) - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{2} 3 x^{- 2 + 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.1.3

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\int_{0}^{2} 3 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

$\int_{0}^{2} 3 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.2

化简 $3 x^{0}$ 。

$\int_{0}^{2} 3 - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3

将 $- 1 x^{- 2}$ 重写为 $- x^{- 2}$ 。

$\int_{0}^{2} 3 - x^{- 2} d x$

$\int_{0}^{2} 3 - x^{- 2} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} 3 d x + \int_{0}^{2} - x^{- 2} d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$3 x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - x^{- 2} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$3 x]_{0}^{2} - (- x^{- 1}]_{0}^{2})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $3 x$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot 0 - (- x^{- 1}]_{0}^{2})$

解题步骤 9.2

计算 $- x^{- 1}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$3 \cdot 2 - 3 \cdot 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 - 3 \cdot 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

解题步骤 9.3.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$6 + 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

解题步骤 9.3.3

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$6 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

解题步骤 9.3.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$6 - (- \frac{1}{2} + 0^{- 1})$

解题步骤 9.3.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

解题步骤 9.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

解题步骤 9.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

解题步骤 10

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$