微积分学示例

$\int_{- 1}^{1} x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = {(- 1)}^{2} + 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{lower} = 1 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{2} u^{3} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{2}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{2}^{2} u^{3} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{2}^{2}$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{4} u^{4}$ 在 $2$ 处和在 $2$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $16$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.3.2

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.3.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 16)$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (4 - 16 (\frac{1}{4}))$

解题步骤 5.5.2

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2} (4 + \frac{- 16}{4})$

解题步骤 5.5.3

约去 $- 16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4})$

解题步骤 5.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)})$

解题步骤 5.5.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1})$

解题步骤 5.5.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (4 + \frac{- 4}{1})$

解题步骤 5.5.3.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (4 - 4)$

解题步骤 5.6

化简表达式。

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解题步骤 5.6.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 5.6.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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