微积分学示例

$\int \frac{- 20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

此积分无法用换元法求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

解题步骤 4

由于 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $20$ 移到积分外。

$- (20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x)$

解题步骤 5

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

解题步骤 6

使 $x = \frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ 为正数。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

化简 $\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 7.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $\frac{5}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 7.1.1.2.1

将 $\frac{5}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.2.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.2.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.2.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 7.1.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.6.4.1

约去公因数。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.2.6.4.2

重写表达式。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.2.6.5

计算指数。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.3

组合 $\frac{5 \sqrt{7}}{7}$ 和 $\sin (t)$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7})}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.1.1.4.1

对 $\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7}$ 运用乘积法则。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7} \sin (t))}^{2}}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.4.2

对 $5 \sqrt{7} \sin (t)$ 运用乘积法则。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.4.3

对 $5 \sqrt{7}$ 运用乘积法则。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{5^{2} {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.5

化简分子。

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解题步骤 7.1.1.5.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.5.2

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 7.1.1.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.5.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.5.2.4.1

约去公因数。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.5.2.4.2

重写表达式。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{1} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.5.2.5

计算指数。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.5.3

将 $25$ 乘以 $7$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.6

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.7

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.7.1

从 $- 7$ 中分解出因数 $7$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 (- 1) \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.7.2

从 $49$ 中分解出因数 $7$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.7.3

约去公因数。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.7.4

重写表达式。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.8

约去 $175$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.8.1

从 $175 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $7$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.1.8.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 (1)}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.8.2.2

约去公因数。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 \cdot 1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.8.2.3

重写表达式。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{25 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.8.2.4

用 $25 \sin^{2} (t)$ 除以 $1$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 (25 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.1.9

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.2

从 $25$ 中分解出因数 $25$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.3

从 $- 25 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $25$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.4

从 $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $25$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.5

使用勾股恒等式。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.6

将 $25 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(5 \cos (t))}^{2}$ 。

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- 20 \int \frac{1}{5 \cos (t)} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{5 \cos (t)}$ 乘以 $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ 。

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{5 \cos (t) \cdot 7} d t$

解题步骤 7.2.2

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{35 \cos (t)} d t$

解题步骤 7.2.3

约去 $5$ 和 $35$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

从 $5 \sqrt{7} \cos (t)$ 中分解出因数 $5$ 。

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{35 \cos (t)} d t$

解题步骤 7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.1

从 $35 \cos (t)$ 中分解出因数 $5$ 。

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

解题步骤 7.2.3.2.2

约去公因数。

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

解题步骤 7.2.3.2.3

重写表达式。

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

解题步骤 7.2.4

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.1

约去公因数。

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

解题步骤 7.2.4.2

重写表达式。

$- 20 \int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$ 重写为 $- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$ 。

$- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $- 20$ 和 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ 。

$\frac{- 20 \sqrt{7}}{7} t + C$

解题步骤 9.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} t + C$

解题步骤 9.3

使用 $\arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5}) + C$

解题步骤 9.4

重新排序项。

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{5} x) + C$

微积分学 示例

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