微积分学示例

$\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + 2 x^{2}$ 。然后使 $d u = 4 x d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + 2 x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + 2 x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0 + 4 x$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $4 x$ 相加。

$4 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + 2 x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + 2 x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

解题步骤 1.5.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

解题步骤 1.5.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

解题步骤 1.5.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{upper} = 1 + 8$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

解题步骤 2.2

将 $4$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.4

计算指数。

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{4} (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} (6 - 2 \cdot 1)$

解题步骤 6.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (6 - 2)$

解题步骤 6.3.4

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 4$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{4}$

解题步骤 6.4.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1

约去公因数。

$\frac{4}{4}$

解题步骤 6.4.2.2

重写表达式。

$1$

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