微积分学示例

$\int x e^{- x^{2}} d x$ , $u = - x^{2}$

解题步骤 1

使 $u = - x^{2}$ ，然后 $d u = - 2 x d x$ 。用 $u$ 和 $d u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $- x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 x)$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

解题步骤 5

化简。

$- \frac{1}{2} e^{u} + C$

解题步骤 6

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$

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