微积分学示例

$\int_{0}^{1} (x^{3} + x) {(x^{4} + 2 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ 。然后使 $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2} + 9]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 4 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $4 x^{3} + 4 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 4 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 9$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9$

解题步骤 1.3.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 9$

解题步骤 1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 0 + 9$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 0 + 9$

解题步骤 1.3.3

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$u_{lower} = 9$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 9$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{2} + 9$

解题步骤 1.5.1.2

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 + 9$

解题步骤 1.5.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 + 2 + 9$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u_{upper} = 3 + 9$

解题步骤 1.5.3

将 $3$ 和 $9$ 相加。

$u_{upper} = 12$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 12$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{9}^{12} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{12}$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $12$ 处和在 $9$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 12^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $12^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

化简。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 5.3.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 5.3.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

解题步骤 5.3.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

解题步骤 5.3.2

化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

解题步骤 5.3.2.2

组合 $- 27$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

解题步骤 5.3.2.3

将 $- 27$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $- 54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

从 $- 54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

解题步骤 5.3.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

解题步骤 5.3.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

解题步骤 5.3.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

解题步骤 5.3.2.4.2.4

用 $- 18$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

小数形式：

$2.42820323 \dots$

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