微积分学示例

$\int x^{2} {(x^{3} - 1)}^{4} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{3} - 1$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{3} - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{3} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{3} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{4}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{u^{4}}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ 重写为 $\frac{1}{15} u^{5} + C$ 。

$\frac{1}{15} u^{5} + C$

解题步骤 6

使用 $x^{3} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{15} {(x^{3} - 1)}^{5} + C$

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