微积分学示例

$\int x^{2} \sqrt{1 - x} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 1 - x$ 。然后使 $d u_{1} = - d x$ ，以便 $- d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 1 - x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int - {(- u_{1} + 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int {(- u_{1} + 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \int {(- u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = - u_{1} + 1$ 。然后使 $d u_{2} = - d u_{1}$ ，以便 $- d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = - u_{1} + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $- u_{1} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1} + 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $- u_{1} + 1$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$- 1 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$- 1$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \int - {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- - \int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 6.2

将 $\int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 7

使 $u_{3} = - u_{2} + 1$ 。然后使 $d u_{3} = - d u_{2}$ ，以便 $- d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{3} = - u_{2} + 1$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $- u_{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2} + 1]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $- u_{2} + 1$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 7.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}]$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $- u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $- \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 。

$- \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 7.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 7.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 7.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.1.4.1

因为 $1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$- 1 + 0$

解题步骤 7.1.4.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$- 1$

解题步骤 7.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\int - {(- u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int {(- u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 ${(- u_{3} + 1)}^{2}$ 重写为 $(- u_{3} + 1) (- u_{3} + 1)$ 。

$- \int (- u_{3} + 1) (- u_{3} + 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$- \int (- u_{3} (- u_{3} + 1) + 1 (- u_{3} + 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$- \int (- u_{3} (- u_{3}) - u_{3} \cdot 1 + 1 (- u_{3} + 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.4

运用分配律。

$- \int (- u_{3} (- u_{3}) - u_{3} \cdot 1 + 1 (- u_{3}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.5

运用分配律。

$- \int (- u_{3} (- u_{3}) - u_{3} \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (1 (- u_{3}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.6

运用分配律。

$- \int - u_{3} (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (1 (- u_{3}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.7

运用分配律。

$- \int - u_{3} (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.8

移动 $u_{3}$ 。

$- \int - 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.9

移动 $u_{3}$ 。

$- \int - 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int 1 u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.11

将 $u_{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.12

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.13

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.17

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.18

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.19

在公分母上合并分子。

$- \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.20

化简分子。

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解题步骤 9.20.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.20.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.21

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.22

提取负因数。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.23

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.24

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.25

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.26

在公分母上合并分子。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.27

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.28

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.29

提取负因数。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.30

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.31

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.32

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.33

在公分母上合并分子。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.34

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.35

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.36

将 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.37

从 $- {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 中减去 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9.38

将 $- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 11

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$- (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 12

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$- (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{2}{7}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 13.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 14

由于 $- 2$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 15

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C - 2 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C - 2 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

解题步骤 16.2

化简。

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$- (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 18

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 18.1

使用 $- u_{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- (\frac{2}{7} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 18.2

使用 $- u_{1} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- (\frac{2}{7} {(- (- u_{1} + 1) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(- (- u_{1} + 1) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(- (- u_{1} + 1) + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 18.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- (\frac{2}{7} {(- (- (1 - x) + 1) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(- (- (1 - x) + 1) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(- (- (1 - x) + 1) + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

微积分学 示例

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