微积分学示例

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - x^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 1 - 0$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 2.2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{1}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{0} \sqrt{u} d u)$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{0}$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.3.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.3

化简表达式。

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解题步骤 7.3.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 7.3.2

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3})$

解题步骤 7.3.4

从 $0$ 中减去 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{2}) \frac{2}{3}$

解题步骤 7.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

解题步骤 7.4.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.4.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{6}$

解题步骤 7.4.5

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{6}$

解题步骤 7.4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.4.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.4.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{3}$

小数形式：

$0.\overline{3}$

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