微积分学示例

$3 e^{x} - e^{2 x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $3 e^{x} - e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$3 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$3 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

解题步骤 3.6

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$3 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 e^{x} - 2 e^{2 x}$

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