微积分学示例

$y = \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$ 对 $y$ 的导数是 $4 \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$ 。

$4 \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = x^{3}$ 且 $g (y) = 2 x^{2} - 5$ 。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d y} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{3}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x$ 。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $3$ 移到 $2 x^{2} - 5$ 的左侧。

$4 \frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5) x^{2} \frac{d}{d y} [x] - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6

求微分。

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解题步骤 3.6.1

根据加法法则， $2 x^{2} - 5$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5]$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.7.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.9

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x' + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.10

因为 $- 5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x' + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.11

化简表达式。

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解题步骤 3.11.1

将 $4 x x'$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.11.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{3} (x x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 (x^{1} x^{3}) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{1 + 3} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.14

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.15

组合 $4$ 和 $\frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ 。

$\frac{4 (3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16

化简。

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解题步骤 3.16.1

运用分配律。

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) + 3 \cdot - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.2

运用分配律。

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 5 x^{2}) x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.3

运用分配律。

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} x' + 3 \cdot - 5 x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.4

运用分配律。

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.5

化简分子。

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解题步骤 3.16.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.16.5.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.16.5.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{4 (3 (2 (x^{2} x^{2})) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.5.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (3 (2 x^{2 + 2}) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.5.1.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 (3 (2 x^{4}) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.5.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 (6 x^{4} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.5.1.3

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{24 (x^{4} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.5.1.4

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{24 x^{4} x' + 4 (- 15 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.5.1.5

将 $- 15$ 乘以 $4$ 。

$\frac{24 x^{4} x' - 60 (x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.5.1.6

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{24 x^{4} x' - 60 x^{2} x' - 16 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.5.2

从 $24 x^{4} x'$ 中减去 $16 x^{4} x'$ 。

$\frac{8 x^{4} x' - 60 x^{2} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.6

从 $8 x^{4} x' - 60 x^{2} x'$ 中分解出因数 $4 x^{2} x'$ 。

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解题步骤 3.16.6.1

从 $8 x^{4} x'$ 中分解出因数 $4 x^{2} x'$ 。

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2}) - 60 x^{2} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.6.2

从 $- 60 x^{2} x'$ 中分解出因数 $4 x^{2} x'$ 。

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2}) + 4 x^{2} x' (- 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.6.3

从 $4 x^{2} x' (2 x^{2}) + 4 x^{2} x' (- 15)$ 中分解出因数 $4 x^{2} x'$ 。

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.16.7

将 $\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} = 1$ 。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} = 1$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ 。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

化简 $\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1.1

化简项。

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解题步骤 5.3.1.1.1.1

约去 ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.1.1.2

重写表达式。

$4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.1.2

运用分配律。

$(4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$(4 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.1.3.2

将 $- 15$ 乘以 $4$ 。

$(4 \cdot 2 x^{2} x^{2} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1.2.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1.2.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$(4 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 \cdot 2 x^{2 + 2} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.2.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$(4 \cdot 2 x^{4} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$(8 x^{4} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.3

通过相乘进行化简。

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解题步骤 5.3.1.1.3.1

运用分配律。

$8 x^{4} x' - 60 x^{2} x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.3.2

重新排序。

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解题步骤 5.3.1.1.3.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$8 x' x^{4} - 60 x^{2} x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.1.3.2.2

移动 $x^{2}$ 。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

将 ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

解题步骤 5.4

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.4.1

化简 ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

将 ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ 重写为 $(2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$ 。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = (2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$

解题步骤 5.4.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

运用分配律。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2} - 5) - 5 (2 x^{2} - 5)$

解题步骤 5.4.1.2.2

运用分配律。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2} - 5)$

解题步骤 5.4.1.2.3

运用分配律。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 5.4.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 5.4.1.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.1.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 5.4.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 5.4.1.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 5.4.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 5.4.1.3.1.4

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

解题步骤 5.4.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x^{2} - 5 \cdot - 5$

解题步骤 5.4.1.3.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x^{2} + 25$

解题步骤 5.4.1.3.2

从 $- 10 x^{2}$ 中减去 $10 x^{2}$ 。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

解题步骤 5.4.2

从 $8 x' x^{4} - 60 x' x^{2}$ 中分解出因数 $4 x' x^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

从 $8 x' x^{4}$ 中分解出因数 $4 x' x^{2}$ 。

$4 x' x^{2} (2 x^{2}) - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

解题步骤 5.4.2.2

从 $- 60 x' x^{2}$ 中分解出因数 $4 x' x^{2}$ 。

$4 x' x^{2} (2 x^{2}) + 4 x' x^{2} \cdot - 15 = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

解题步骤 5.4.2.3

从 $4 x' x^{2} (2 x^{2}) + 4 x' x^{2} \cdot - 15$ 中分解出因数 $4 x' x^{2}$ 。

$4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

解题步骤 5.4.3

将 $4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ 中的每一项除以 $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ 中的每一项都除以 $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ 。

$\frac{4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{x' (2 x^{2} - 15)}{2 x^{2} - 15} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.2.3

约去 $2 x^{2} - 15$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x' (2 x^{2} - 15)}{2 x^{2} - 15} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.2.3.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.3.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.3.1.1.1

约去公因数。

$x' = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.1.1.2

重写表达式。

$x' = \frac{x^{4}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.1.2

约去 $x^{4}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.3.1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x' = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.3.1.2.2.1

约去公因数。

$x' = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.1.2.2.2

重写表达式。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.1.3

约去 $- 20$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.3.1.3.1

从 $- 20 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.3.1.3.2.1

从 $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 (x^{2} (2 x^{2} - 15))} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.1.3.2.2

约去公因数。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 (x^{2} (2 x^{2} - 15))} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.1.3.2.3

重写表达式。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.1.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.3.1.4.1

约去公因数。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.1.4.2

重写表达式。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} - \frac{5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.2

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.3

要将 $\frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ 。

$x' = \frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15} \cdot \frac{4 x^{2}}{4 x^{2}} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(2 x^{2} - 15) \cdot 4 x^{2}$ 的形式。

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解题步骤 5.4.3.3.4.1

将 $\frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15}$ 乘以 $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ 。

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2})}{(2 x^{2} - 15) (4 x^{2})} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.4.2

重新排序 $(2 x^{2} - 15) (4 x^{2})$ 的因式。

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2})}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.5

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2}) + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6

化简分子。

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解题步骤 5.4.3.3.6.1

运用分配律。

$x' = \frac{(x^{2} \cdot 4 - 5 \cdot 4) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.2

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x' = \frac{(4 \cdot x^{2} - 5 \cdot 4) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.3

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$x' = \frac{(4 \cdot x^{2} - 20) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.4

运用分配律。

$x' = \frac{4 x^{2} x^{2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.3.3.6.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$x' = \frac{4 (x^{2} x^{2}) - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x' = \frac{4 x^{2 + 2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x' = \frac{4 x^{4} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.6

以因式分解的形式重写 $4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ 。

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解题步骤 5.4.3.3.6.6.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x' = \frac{4 {(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.6.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x' = \frac{4 u^{2} - 20 u + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.6.3

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.4.3.3.6.6.3.1

将 $4 u^{2}$ 重写为 ${(2 u)}^{2}$ 。

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 20 u + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.6.3.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 20 u + 5^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.6.3.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$20 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 5$

解题步骤 5.4.3.3.6.6.3.4

重写多项式。

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 5 + 5^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.6.3.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 2 u$ 和 $b = 5$ 。

$x' = \frac{{(2 u - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 5.4.3.3.6.6.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x' = \frac{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

微积分学 示例

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