微积分学示例

$y = \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 x^{2} - 5$ 。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 移到 $2 x^{2} - 5$ 的左侧。

$4 \frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $2 x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.7

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.3.8.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - x^{3} (4 x)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3.8.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{3} x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 (x^{1} x^{3})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{1 + 3}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.7

组合 $4$ 和 $\frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ 。

$\frac{4 (3 (2 x^{2} - 5) x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

运用分配律。

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) + 3 \cdot - 5) x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

运用分配律。

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 5 x^{2} - 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.3

运用分配律。

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2}) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.4

化简分子。

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解题步骤 3.8.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.8.4.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{4 (3 (2 (x^{2} x^{2}))) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (3 (2 x^{2 + 2})) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.4.1.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 (3 (2 x^{4})) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.4.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 (6 x^{4}) + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.4.1.3

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{24 x^{4} + 4 (3 \cdot - 5 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.4.1.4

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{24 x^{4} + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.4.1.5

将 $- 15$ 乘以 $4$ 。

$\frac{24 x^{4} - 60 x^{2} + 4 (- 4 x^{4})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.4.1.6

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{24 x^{4} - 60 x^{2} - 16 x^{4}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.4.2

从 $24 x^{4}$ 中减去 $16 x^{4}$ 。

$\frac{8 x^{4} - 60 x^{2}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.5

从 $8 x^{4} - 60 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.8.5.1

从 $8 x^{4}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2}) - 60 x^{2}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.5.2

从 $- 60 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} (- 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8.5.3

从 $4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} (- 15)$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

微积分学 示例

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