微积分学示例

$f (x) = 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 7 d x + \int - 6 x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$7 x + C + \int - 6 x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

解题步骤 5

由于 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$7 x + C - 6 \int x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 12 x^{3} d x$

解题步骤 7

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 \int x^{3} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$7 x - 2 x^{3} + 12 (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$7 x - 2 x^{3} + 12 \frac{x^{4}}{4} + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $12$ 和 $\frac{x^{4}}{4}$ 。

$7 x - 2 x^{3} + \frac{12 x^{4}}{4} + C$

解题步骤 9.2.3

约去 $12$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1

从 $12 x^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4} + C$

解题步骤 9.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4 (1)} + C$

解题步骤 9.2.3.2.2

约去公因数。

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4 \cdot 1} + C$

解题步骤 9.2.3.2.3

重写表达式。

$7 x - 2 x^{3} + \frac{3 x^{4}}{1} + C$

解题步骤 9.2.3.2.4

用 $3 x^{4}$ 除以 $1$ 。

$7 x - 2 x^{3} + 3 x^{4} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $7 x - 2 x^{3} + 3 x^{4} + C$

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