微积分学示例

$\frac{17}{2} - \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{17}{2} - \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{17}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{17}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{17}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{17}{2}$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$ 。

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解题步骤 2.1

组合 $\cos (\frac{π t}{6})$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{\cos (\frac{π t}{6}) \cdot 3}{2}]$

解题步骤 2.2

将 $3$ 移到 $\cos (\frac{π t}{6})$ 的左侧。

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3 \cdot \cos (\frac{π t}{6})}{2}]$

解题步骤 2.3

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \frac{3 \cos (\frac{π t}{6})}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$ 。

$0 - \frac{3}{2} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = \frac{π t}{6}$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{π t}{6}$ 。

$0 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

解题步骤 2.4.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

解题步骤 2.4.3

使用 $\frac{π t}{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

解题步骤 2.5

因为 $\frac{π}{6}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{π t}{6}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \cdot 1))$

解题步骤 2.7

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{π}{6})$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{π}{6}$ 和 $\sin (\frac{π t}{6})$ 。

$0 - \frac{3}{2} (- \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6})$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 (\frac{3}{2}) \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

解题步骤 2.10

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{3}{2} \cdot \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

解题步骤 2.11

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ 。

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{2 \cdot 6}$

解题步骤 2.12

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{12}$

解题步骤 2.13

约去公因数。

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解题步骤 2.13.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{3 \cdot 4}$

解题步骤 2.13.2

约去公因数。

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{3 \cdot 4}$

解题步骤 2.13.3

重写表达式。

$0 + \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{4}$

解题步骤 3

将 $0$ 和 $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{4}$ 相加。

$\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{4}$

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