微积分学示例

$y = - \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- \frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{5} x^{- 4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ 。

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$- \frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{1}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $x^{- 5}$ 。

$\frac{4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

解题步骤 1.2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 5}$ 移动到分母。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

解题步骤 1.3.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

解题步骤 1.3.4

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{- 1}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x^{- 2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.3

重新排序项。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.2.5

组合 $\frac{6}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.2.6

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.2.6.2.4

用 $3 x$ 除以 $1$ 。

$3 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$3 x + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 x + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 x + 3 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 x + 3 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x + 3 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x + 3 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$3 x + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.3.10

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $\frac{4}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{5 x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{x^{5}}$ 重写为 ${(x^{5})}^{- 1}$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

解题步骤 2.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{5}$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 2.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 2.4.3.3

使用 $x^{5}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

解题步骤 2.4.5

将 ${(x^{5})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

解题步骤 2.4.5.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

解题步骤 2.4.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

解题步骤 2.4.7

通过指数相加将 $x^{- 10}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.4.7.1

移动 $x^{4}$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

解题步骤 2.4.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

解题步骤 2.4.7.3

从 $4$ 中减去 $10$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 6})$

解题步骤 2.4.8

组合 $- 5$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 5 \cdot 4}{5} x^{- 6}$

解题步骤 2.4.9

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5} x^{- 6}$

解题步骤 2.4.10

组合 $\frac{- 20}{5}$ 和 $x^{- 6}$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20 x^{- 6}}{5}$

解题步骤 2.4.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 6}$ 移动到分母。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5 x^{6}}$

解题步骤 2.4.12

约去 $- 20$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.12.1

从 $- 20$ 中分解出因数 $5$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

解题步骤 2.4.12.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.12.2.1

从 $5 x^{6}$ 中分解出因数 $5$ 。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 (x^{6})}$

解题步骤 2.4.12.2.2

约去公因数。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

解题步骤 2.4.12.2.3

重写表达式。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 4}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.13

将负号移到分数的前面。

$3 x - 6 x^{- 3} - \frac{4}{x^{6}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 x - 6 \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

解题步骤 2.5.2

合并项。

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解题步骤 2.5.2.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$3 x + \frac{- 6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

解题步骤 2.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 3 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

微积分学 示例

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