微积分学示例

$y = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (4 (x^{2} + 1) x) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$ 。

$\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} (4 x^{2} + 4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 x^{3} x^{2} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{4 (x^{2} x^{3}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{2 + 3} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.2.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 x^{5} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x^{5} + x^{3} \cdot 4 - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.4

将 $4$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot x^{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.5

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 9.3.1.6.1

运用分配律。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.6.2

运用分配律。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.6.3

运用分配律。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.3.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1.7.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.3.1.7.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.7.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.7.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.7.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.7.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.7.2

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.8

运用分配律。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.9

化简。

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解题步骤 9.3.1.9.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.9.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.10

运用分配律。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.11

化简。

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解题步骤 9.3.1.11.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.3.1.11.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.11.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 9.3.1.11.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.11.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.11.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.11.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.3.1.11.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.11.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.3.1.11.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.11.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.1.11.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.2

合并 $4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x$ 中相反的项。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $4 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} + 0 - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.2.2

将 $4 x^{5} - 2 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.3.3

从 $4 x^{5}$ 中减去 $2 x^{5}$ 。

$\frac{2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.4

化简分子。

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解题步骤 9.4.1

从 $2 x^{5} - 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 9.4.1.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) - 2 x}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.4.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.4.1.3

从 $2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4} - 1)}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1)}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.4.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.4.5

化简。

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解题步骤 9.4.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.4.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{2 x^{4}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

约去公因数。

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

解题步骤 9.5.2

重写表达式。

$\frac{((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)}{x^{4}}$

解题步骤 9.6

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 9.6.1

从 $((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x^{4}}$

解题步骤 9.6.2

约去公因数。

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解题步骤 9.6.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 9.6.2.2

约去公因数。

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 9.6.2.3

重写表达式。

$\frac{((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1)}{x^{3}}$

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{3}}$

微积分学 示例

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