微积分学示例

$y = \sqrt{x^{2} + 2 x - 1}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 2 x - 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2 x - 1$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 2 x - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

解题步骤 4.1.3

使用 $x^{2} + 2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

解题步骤 4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

解题步骤 4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

解题步骤 4.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

解题步骤 4.6

合并分数。

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解题步骤 4.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

解题步骤 4.6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

解题步骤 4.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1]$

解题步骤 4.7

根据加法法则， $x^{2} + 2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 + 0)$

解题步骤 4.13

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$

解题步骤 4.14

化简。

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解题步骤 4.14.1

重新排序 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)$ 的因式。

$(2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14.2

将 $2 x + 2$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x + 2}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14.3

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14.4

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14.5

从 $2 (x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14.6

约去公因数。

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解题步骤 4.14.6.1

从 $2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x + 1)}{2 ({(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.14.6.2

约去公因数。

$\frac{2 (x + 1)}{2 {(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14.6.3

重写表达式。

$\frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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